قسم الرياضيات يناقش رسالة ماجستير تبحث في الحل العددي للشكل الكلاسيكي لمعادلة الحرارة في بعدين مكانيين

 

ناقش قسم الرياضيات في كلية التربية للعلوم الصرفة ( ابن الهيثم ) رسالة الماجستير الموسومة ( الحل العددي لمعادلة الحرارة في بعدين من الرتبة الكسرية ) للطالبة ( اسراء عباس ابراهيم ) التي انجزتها تحت اشراف التدريسيين في  القسم ( أ.م.د. سلوى سلمان عبد  و  م.د.عادل راشد عبد علي ) و نوقشت من قبل لجنة المناقشة التي تألفت من الذوات المدرجة اسمائهم فيما يأتي :

• أ.م.د. فاضل صبحي رزوقي ( رئيسا )

• أ.م. رغد كاظم صالح ( عضوا )

• م.د. مهند نافع جعفر ( عضوا)

• أ.م.د. سلوى سلمان عبد (عضوا ومشرفا )

• م.د. عادل راشد عبد علي ( عضوا ومشرفا )

 

وتهدف هذه الرسالة إلى مناقشة الحل العددي لمعادلة الحرارة في بعدين مكانيين في شكلها الكلاسيكي (المشتقة من الرتبة الصحيحة) وكذلك في الشكل الكسري (مع مشتق الزمن من الرتبة الكسرية).

بالنسبة لصيغة المعادلة في شكلها الكلاسيكي فاننا قدمنا تحسينا على طريقة الاتجاه المتناوب الضمني (Alternating Direction Implicit method) لنحصل من خلال هذا التحسين على صيغة مكافئة لصيغة كرانك ونيكلسون (Crank – Nicolson) من ناحية الدقة وخطأ القطع وفي نفس الوقت تمتلك الميزات الجيدة لطريقة الاتجاه المتناوب الضمني بالاضافة الى كون الصيغة المقترحة مستقرة بدون شروط مثل طريقة الاتجاه المتناوب الضمني ويمكن حلها باستخدام خوارزمية مشابهة لطريقة الاتجاه المتناوب الضمني مع بعض التعديلات.

تم استخدام الطريقة المقترحة لحل معادلة الحرارة القياسية في بعدين ويمكن تعميم هذه الطريقة الى معادلات تفاضلية جزئية في اكثر من بعدين بدلاً من طريقة الاتجاه المتناوب الضمني.

اما بالنسبة لمعادلة الحرارة في بعدين مع المشتقة الكسرية بالنسبة للزمن فاننا قدمنا ​​دراسة لشروط الاستقرار لصيغة الفروق المحددة الصريحة لمعادلة الانتشار الكسرية الزمنية في بعدين. تم استخدام تعريف Caputo للمشتق الكسري لتمثيل المشتق الزمني. سيؤدي استخدام مشتق الترتيب الكسري الزمني إلى صيغة فروق محدود متعددة المستويات بسبب خصائص المشتق الكسري الوراثية والذاكرة. ان ايجاد شروط الاستقرار لمعادلة الانتشار مع المشتق الكسري بالنسبة للزمن تكون اكثر تعقيدا وصعوبة من الحالة في الاشتقاق من الرتبة الصحيحة وقد حصلنا على ظروف الاستقرار باستخدام الاسلوب الكلاسيكي للصيغ متعددة المستويات مع التعديلات المناسبة عليها. النتائج التي حصلنا عليها ليست جديدة ، لكننا استخدمنا طريقة مختلفة لإثباتها.

---

Numerical Solution for Two Dimensional Fractional Heat Equation

By Isra’a .A.Ibrahim

Supervised by Asst. Prof. Dr. Salwa Salman Abed

Abstract

This thesis aims to discuss the numerical solution of two-dimensional diffusion equation in the classical form (the integer order derivative) and with the fractional form (with fractional order derivative in the time-fractional diffusion equation                                                          

For the classical form we introduce an improvement to the Alternating Direction Implicit method and get an equivalent scheme to Crank – Nicolson differences scheme in two dimensions. This improvement have the same main good feature of the Alternating Direction Implicit method with more accurate resuits.  It is also unconditionally stable like the Alternating Direction Implicit  method and can be solved by similar Alternating Direction Implicit  algorithm with some modification                                                                                     

The suggested method has been used to solve the standard diffusion equation in two dimension but it can be used for any other partial differential equation with more one dimension instead of the Alternating Direction Implicit method

For the fractional case we use the Caputo definition of fractional derivative for the time derivative of diffusion equation. The fractional scheme will be a multi level scheme due to memory and hereditary properties of the time fractional derivative. The stability condition obtained by reformulation the classical multilevel technique on the finite difference scheme to be suitable for the time fractional case.