ناقش قسم الرياضيات في كلية التربية للعلوم الصرفة (ابن الهيثم) رسالة الماجستير الموسومة ( طرائق المصفوفات التشغيلية لحل المعادلات التفاضلية الكسرية غير- الخطية مع التطبيقات ) للطالبة ( شفاء محمد نجيب جاسم ) التي انجزتها باشراف التدريسية في القسم ( أ.م.د. غادة حسن إبراهيم ) ونوقشت من قبل لجنة المناقشة التي تألفت من :
- أ.د. مجيد احمد ولي – رئيسا
- أ.م.د. أثير جواد كاظم – عضوا
- م.د. عادل راشد عبد علي – عضوا
- أ.م.د. غادة حسن إبراهيم – عضوا ومشرفا
والهدف الرئيسي من هذه الرسالة هو إيجاد حلول تقريبية لتطبيقين مهمين من المعادلات التفاضلية الكسرية. التطبيق الأول هو معادلة باجلي تورفيك الكسرية (FBTE) والتطبيق الثاني هو معادلة بانتوغراف للتأخير الكسرية (FDPE) بشروط أولية وحدودية باستخدام طرق المصفوفات التشغيلية مع متعددة حدود برنشتاين ومتعددة حدود ليجندر المحولة.
تتمثل الأهداف الرئيسية لهذه الرسالة في دراسة وجود ووحدانية الحلول لمسائل القيم الابتدائية والحدودية للمعادلات التفاضلية الكسرية وإيجاد الحل التقريبي لبعض أنواع المعادلات التفاضلية الكسرية غير الخطية.
في هذا العمل، نستخدم طريقة المصفوفات التشغيلية، والتي تعتبر من أكثر الطرق استخدامًا وقد أثبتت نجاحها وكفاءتها في حل العديد من المعادلات التفاضلية والتكاملية. الإجراء الأساسي لهذه الطريقة هو استخدام المصفوفات التشغيلية للتخلص من عمليات التفاضل وتحويل المشكلة إلى نظام معادلات جبرية مما يجعل حل المشكلة أسهل.
تركز هذه الدراسة على معالجة نوعين من تطبيقات المعادلات التفاضلية الكسرية المهمة في الهندسة والفيزياء، وهما معادلة باجلي – تورفيك الكسرية ومعادلة بانتوغراف للتأخير الكسرية. تم اقتراح مصفوفتين تشغيليتين للمشتق الكسري بمفهوم Caputo لتعريف المشتق الكسري، أحدهما تعتمد على متعددة حدود بيرنشتاين والأخرى على أساس متعددة حدود ليجندر المحولة، للعثور على الحل التقريبي للتطبيقين مع الشروط الأولية والحدودية ومقارنة النتائج بين الطريقتين.
البرنامج المستخدم لحساب النتائج العددية في هذا العمل هو برنامج ماثيماتيكا® 12
وخلصت الطالبة في ختام رسالتها الى التوصيات الاتية :
- متعددات حدود بيرنشتاين لحل المعادلات الكسرية غير خطية ذات الرتبة المتغيرة.
- المصفوفات التشغيلية على اساس متعددات حدود ليجندر لحل المعادلات الكسرية جينزبورغ- لانداو ذات الرتبة المتغيرة غير الخطية
- المصفوفات التشغيلية على اساس متعددات حدود فييتا- لوكاس لحل المعادلات الكسرية باجلي تورفيك غير الخطية.
- المصفوفات التشغيلية على أساس متعددات حدود فييتا- لوكاس لحل المعادلات الكسرية بانتوغراف للتأخير غير الخطية.
