ناقش قسم الرياضيات في كلية التربية للعلوم الصرفة (ابن الهيثم) اطروحة الدكتوراة الموسومة) : ( حلول تقريبية جديدة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية مع بعض التطبيقات ) للطالب ( ميسر عبيد عنادي ) التي انجزها باشراف التدريسي في القسم (أ.د. مجيد احمد ولي ) ونوقشت من قبل اعضاء لجنة المناقشة المبينة اسمائهم في ما يأتي :
أ.د. رائد كامل ناجي – رئيسا
أ.د. حسن فاضل رضا – عضوا
أ.م.د. مها عبدالجبار محمد – عضوا
أ.م.د. غادة حسن إبراهيم – عضوا
أ.م.د. ايمان محمد نعمة – عضوا
ويهدف البحث الى استخدام طريقة حسابية فعالة تعتمد على متعددات الحدود المتعامدة ومصفوفاتها التشغيلية لإيجاد حلول تقريبية جديدة للمعادلات التفاضلية الجزئية
من خلال الأهداف الأساسية لهذه الأطروحة هي تقديم تقنيات حسابية فعالة لحساب الحلول التقريبية والتحليلية للمعادلات التفاضلية الجزئية وتطبيق هذه الأساليب لحل بعض التطبيقات التي ظهرت في العلوم التطبيقية والهندسة وهي :
- الهدف الاول هو توسيع نطاق الطريقة الحسابية الفعالة التي تعتمد على الدوال الأساسية المستندة إلى كثيرات الحدود القياسية وإنشاء طرق حسابية فعالة جديدة من خلال توفير استراتيجية قوية تعتمد على التمثيل المتسلسل للحل باستخدام مجموعة متنوعة من الدوال الأساسية المتعامدة المناسبة، مثل كثيرات حدود ليجاندر، شيبيشيف، بوبكر، برنولي، وجينوكي.
علاوة على ذلك، تُحوَّل المعادلة التفاضلية الخطية مع شروطها بكفاءة إلى نظام معادلات جبرية خطية باستخدام الدوال الأساسية، ثم تُحل هذه المعادلات عدديًا باستخدام برامج رياضية حديثة.
- الهدف الثاني هو استخدام الطرق المقترحة، وهي الطريقة الحسابية الفعالة التي تعتمد على كثيرات الحدود المتعامدة، لحل ثلاثة تطبيقات تتضمن معادلات تفاضلية جزئية خطية إهليلجية معروفة في العلوم التطبيقية: معادلة لابلاس، ومعادلة بواسون، ومعادلة هيلمهولتز. وقد تم حل ثلاثة امثلة اختبارية ذات شروط حدودية مختلطة باستخدام هذه الطرق.
- الهدف الثالث هو تطبيق الطرق المقترحة لحل معادلات بواسون باستخدام شروط حدود ديرشليت الكلاسيكية ونوعين من الشروط الحدودية غير المحلية، والتي تظهر في الفيزياء الرياضية والعلوم التطبيقية. وقد تم حل ثلاث امثلة اختبارية باستخدام هذه الطرق.
- الهدف الرابع هو استخدام الطرق المقترحة لحل مسألة الحرارة ذات الشروط ابتدائية والحدودية مختلفة (ديريشليت، نيومان، وشروط حدودية المختلطة).
- الهدف الخامس هو تطبيق الطرق المقترحة لحل مسألة الحرارة ذات الشروط ابتدائية وشروط حدودية غير المحلية، والتي تظهر في العلوم التطبيقية والفيزياء الرياضية.
- الهدف السادس هو تطبيق الطرق المقترحة لحل مسألة الموجة ذات الشروط الابتدائية والحدودية المختلفة (ديرشليت، ونيومان، والشروط الحدودية المختلطة).
- الهدف السابع هو استخدام الطرق المقترحة لحل معادلات التفاضل الجزئي للموجات الزائدية ذات الشروط الابتدائية مع شروط حدودية غير المحلية، والتي تظهر في الفيزياء الرياضية والعلوم التطبيقية. وقد تم حل أربعة أمثلة اختبارية باستخدام هذه الطرق.
علاوةً على ذلك، تم دراسة تقارب الطرق المقترحة بناءً على إحدى نتائج نظرية النقطة الثابتة لبناخ في جميع الفصول. ولإثبات دقة وفعالية الطرق المقترحة، تم حساب متوسط مربع الخطأ وأقصى خطأ مطلق.
وأظهرت النتائج موثوقية ودقة الطرق المقترحة في توفير حلول تقريبية تحليلية مبتكرة للمشكلات، حيث وجد أن هذه الطرق تتمتع بحسابات دقيقة للغاية.
لقد تم استخدام برنامج Mathematica^® 12 في جميع العمليات الحسابية في هذه الرسالة.
8- التوصيات الطرق المقترحة موثوقة وفعالة في إيجاد حلول التقريب لثلاثة تطبيقات مهمة تتطلب معادلات تفاضلية جزئية إهليلجية: معادلة لابلاس، ومعادلة بواسون، ومعادلات هلمهولتز ذات الظروف الحدودية المختلطة.
الطرق المقترحة دقيقة وناجحة في إنتاج حلول تقريبية لبعض التطبيقات المهمة، مثل معادلة بواسون ذات الشروط الحدودية غير المحلية.
أظهرت التقنيات المقترحة دقة وكفاءة عالية في توليد حلول تقريبية تحليلية لمعادلة الحرارة مع ديريتشليت ونيومان وظروف الحدود المختلطة.
أنتجت الطرق المقترحة حلولاً تقريبية تحليلية لمشكلة الحرارة مع ظروف حدودية غير محلية بكفاءة ودقة كبيرتين.
الطرق المقترحة موثوقة وفعالة في تحقيق حلول تقريبية تحليلية لبعض التطبيقات المهمة، ومعادلة الموجة مع ديريتشليت، ونيومان، وظروف الحدود المختلطة.
قدمت الطرق المقترحة حلولاً تقريبية تحليلية عالية الدقة وناجحة لمشكلة الموجة الزائدية مع ظروف حدودية غير محلية.
أظهرت الطريقة الحسابية الفعّالة المعتمدة على كثيرات حدود برنولي دقةً أعلى مع معدل خطأ أقل مقارنةً بكثيرات الحدود المتعامدة الأخرى عند دراسة نتائج تطبيقات متنوعة. من ناحية أخرى، يعتمد تحديد الطريقة الأفضل على المشكلة المدروسة، ويختلف اختلافًا طفيفًا من مشكلة لأخرى.
توفر الطرق المقترحة تقريبات قوية ودقيقة من خلال حساب قيم الخطأ للخطأ المطلق الأقصى وخطأ المربع المتوسط، وسوف نتوصل إلى أن دقة حل التقريب تتحسن وأن الخطأ يتناقص مع زيادة درجة الحدود المتعددة.
تتميز الطرق المقترحة بفعالية ودقة عاليتين، إذ يحتوي نظام المصفوفات المستخدم على العديد من الأصفار، مما يتطلب دقة ووقتًا وذاكرة أقل للحصول على حلول تقريبية للمسائل. علاوة على ذلك، فإن المصفوفات التشغيلية للطرق المقترحة هي مصفوفات متفرقة، وفقًا للبرنامج.
من خلال حساب قيم β_k واكتشاف أن جميع قيم النتائج كانت أقل من واحد باستخدام شرط التقارب المعطى في نظرية بناخ للنقطة الصامدة لجميع المشاكل، أثبت أن الطرق المقترحة متقاربة.
