شهد قسم الرياضيات في كلية التربية للعلوم الصرفة مناقشة رسالة الماجستير المقدمة من الطالب أحمد نجاح عبد الهادي جابر، والموسومة : ( طرائق هجينة مبتكرة تعتمد على التحويل الطبيعي لحل المعادلات التفاضلية الكسرية غير الخطية )، بإشراف الأستاذ الدكتور هدى حمودي عمران، ضمن تخصص الرياضيات – العلوم الصرفة.
هدفت الرسالة إلى تطوير وتوظيف طرائق هجينة تحليلية لحل طيف من المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية وغير الخطية، الكسرية وغير الكسرية، مع التركيز بصورة خاصة على المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية غير الخطية عالية الرتبة.
تُعد المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية من النماذج الرياضية المهمة في العلوم التطبيقية الحديثة؛ لما تمتلكه من قدرة على تمثيل الظواهر التي تتضمن تأثيرات الذاكرة والسلوك غير المحلي والخصائص الديناميكية المعقدة، وهي خصائص قد يصعب تمثيلها بصورة كافية باستخدام المعادلات التفاضلية التقليدية ذات الرتب الصحيحة.
وانطلاقًا من ذلك، تناولت الرسالة تطوير طريقة تحليلية هجينة تعتمد على دمج التحويل الطبيعي (Natural Transform) مع طريقة تحليل أدوميان (Adomian Decomposition Method)، والتي أُطلق عليها NTADM، بهدف حل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية عالية الرتبة، ثم تعميمها لمعالجة المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية غير الخطية عالية الرتبة باستخدام مشتقة كابوتو الكسرية (Caputo Fractional Derivative).
وتستفيد الطريقة المقترحة من قدرة التحويل الطبيعي على تبسيط البنية الرياضية للمعادلات التفاضلية، إلى جانب كفاءة طريقة تحليل أدوميان في التعامل مع الحدود غير الخطية، دون الحاجة إلى اللجوء إلى عمليات الخطية أو الاضطراب أو التقريبات العددية المباشرة، بما يتيح الحصول على حلول تحليلية تقريبية في صورة متسلسلات سريعة التقارب.
تضمنت الرسالة عرضًا للأسس النظرية لحساب التفاضل والتكامل الكسري، ومشتقة كابوتو، وخصائص التحويل الطبيعي، فضلًا عن أسس طريقة تحليل أدوميان. كما تناولت دراسة رياضية لإثبات وجود الحل ووحدانيته وتقارب متسلسلات الحلول الناتجة عن الطريقة الهجينة المقترحة.
وطُبقت طريقة NTADM على مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية عالية الرتبة، وكذلك المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية عالية الرتبة ذات الصلة بعدد من التطبيقات الحديثة في الرياضيات التطبيقية والهندسة.
كما تناولت الدراسة تأثير الرتبة الكسرية في سلوك الحلول، من خلال النتائج العددية والتمثيلات البيانية، والتي أظهرت قدرة النماذج الكسرية على توفير مرونة أكبر في وصف بعض السلوكيات الديناميكية، مع الحفاظ على خصائص الاستقرار والدقة في المسائل المدروسة.
وللتحقق من كفاءة الطريقة المقترحة، أُجريت مقارنات مع عدد من الطرائق التحليلية المعروفة، من بينها NT-TAM وVIM وTAM وADM.
وأظهرت النتائج، ضمن المسائل التي تناولتها الدراسة، أن طريقة NTADM تتميز بـسرعة التقارب، والدقة، وانخفاض الخطأ، وسهولة التطبيق، مقارنة بالطرائق التحليلية الأخرى المستخدمة في المقارنة.
كما أُجريت العمليات الحسابية الرمزية وإنتاج الرسوم البيانية باستخدام برنامج Mathematica 13.3، وأسهمت النتائج في بيان فاعلية الطريقة المقترحة بوصفها أداة تحليلية مناسبة ومستقرة وموثوقة لمعالجة مجموعة واسعة من المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية غير الخطية عالية الرتبة.
التوصيات
أوصت الرسالة بتوسيع نطاق تطبيق الطريقة المقترحة مستقبلًا ليشمل:
المعادلات التفاضلية متعددة الأبعاد وغير الخطية ذات البنى الأكثر تعقيدًا.
المعادلات التفاضلية العشوائية والضبابية، بهدف اختبار كفاءة الطريقة في نمذجة الأنظمة التي تتضمن عدم اليقين والعشوائية.
وتألفت لجنة المناقشة من:
الأستاذ الدكتور لمى ناجي توفيق – رئيسًا.
الأستاذ المساعد الدكتور غادة حسن إبراهيم – عضوًا.
الأستاذ المساعد الدكتور محمد يوسف تركي – عضوًا.
الأستاذ الدكتور هدى حمودي عمران – عضوًا ومشرفًا.
تسهم هذه الدراسة في دعم البحث العلمي وتطوير الأساليب الرياضية الحديثة، وترتبط بصورة رئيسة بـ:
الهدف التاسع (SDG 9) – الصناعة والابتكار والهياكل الأساسية: من خلال تطوير منهج تحليلي رياضي مبتكر يمكن توظيفه في معالجة نماذج رياضية ذات صلة بالعلوم التطبيقية والهندسة، وتعزيز الابتكار في طرائق الحل الرياضي.
كما تدعم الدراسة الهدف الرابع (SDG 4) – التعليم الجيد: من خلال تعزيز البحث العلمي المتخصص في الرياضيات، وتطوير المعرفة والمهارات البحثية في مجال المعادلات التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل الكسري.
وتأتي هذه الرسالة ضمن الجهود العلمية الرامية إلى تطوير أدوات رياضية وتحليلية حديثة تسهم في فهم ومعالجة النماذج الرياضية المعقدة، وفتح آفاق بحثية جديدة لتطبيق الطرائق الهجينة في مجالات أوسع من الرياضيات التطبيقية والعلوم والهندسة.
